تولد روح ریاضی

ریاضیات یونانی از آغاز تا اقلیدس

هر آنچه ما یونانیان دریافت می کنیم، اصلاح و کاملش می کنیم.

افلاطون

حکایت کرده اند که طالس (1) روزی حین گردش شامگاهی آن چنان غرق در نظاره ستارگان بود که در جوی آبی افتاد. زنی که با او بود زبان به تمسخر گشود که چگونه می توانی دریابی که در آسمانها چه می گذرد، وقتی از زیر پایت غافلی؟ ولی به هر حال طالس کارهای بسیاری را هم زمان و آن هم موفق انجام داد. او در طول زندگانی اش نه تنها ریاضیات یونانی را بنا نهاد، ستارگان را رصد کرد و به گشت و گذار در طبیعت با دوستان موافق پرداخت. بلکه همچنین فلسفه یونان را بنا نهاد، نظریه کیهان شناسی مهمی ارائه کرد، بسیار سفر کرد، کارهای مهمی در زمینه نجومی انجام داد و در عرصه تجاری به توفیقاتی عظیم دست یافت.
طالس همچون اکثر ریاضی دانان یونان باستان، مقدمات جبر و هندسه را از مصریان و بابلیان آموخت. در واقع، بسیاری از این دانشمندان از آسیای صغیر برخاستند که وارث فرهنگ بابل بود. سایرینی که در خاک اصلی یونان چشم به جهان گشودند، به مصر رفتند و در آن جا تحصیل کردند. اما، با وجود تأثیر بی چون و چرای مصر و بابل بر اذهان یونانیان، ریاضیاتی که اینان ساختند، با آنچه پیش از آن ها وجود داشت تفاوتی اساسی داشت. در واقع، اگر از منظر قرن بیستم بنگریم، ریاضیات و چه بسا تمدن معاصر، با یونانیان دوره کلاسیک آغاز شد که از حدود 600 تا 300 پ م طول کشید.
ریاضیاتی که پیش از عهد یونان وجود داشت، مجموعه ای از نتایج تجربی بود. فرمول های آنان نتیجه انباشت قرن ها تجربه بود؛ چیزی شبیه به بسیاری از اصول پزشکی و روش های درمان امروزی. هر چند هیچ تردیدی نیست که تجربه آموزگار خوبی است، در بسیاری از موقعیت ها ناکارآمدترین راه برای کسب دانش است. چه کسی پلی به طول چندین کیلومتر می سازد تا ببیند که یک کابل فولادی خاص تحمل آن را دارد یا نه؟ روش آزمون و خطا شاید سرراست و مستقیم باشد. اما چه بسا به کاربستن آن به فاجعه ختم شود.
آیا تجربه تنها راه کسب معرفت است؟ برای موجوداتی که از نعمت قوه استدلال برخوردارند، نه. استدلال راه های بسیار دارد و راهی که عموماً پی گرفته می شود، قیاس است: مثلاً مصریان به جاودانگی باور داشتند، و از همین رو مردگان خود را با جامه و لوازم زندگی و جواهرات و دیگر چیزهایی که ممکن بود در آن دنیا به کارشان بیاید، دفن می کردند. استدلال آن ها چنین بود که چون برای زندگی در این دنیا به این وسایل نیاز است، برای زندگی آن جهانی نیز همین قضیه صدق می کند.
استدلال از طریق قیاس مفید هست، اما آن هم محدودیت های خاص خود را دارد. چه بسا کلاً موقعیتی قیاسی وجود نداشته باشد و بعید است که امکان اختراع هواپیما و رادیو و زیردریایی از طریق استدلال قیاسی وجود می داشت یا آن که چه بسا موقعیت های قابل قیاسی هم باشد که اندکی با هم فرق کنند؛ اما همین فرق اندک، تفاوتی بسیار را سبب شود. مثلاً انسان شبیه به میمون است، اما نمی توان با مطالعه میمون ها به برخی نتایج درباره انسان دست یافت.
روش استدلالی رایج تری هم وجود دارد که آن را استقرا می نامند. زارعی که می بیند بارش باران سنگین طی چندین بهار پی در پی محصول عالی در پی داشته است نتیجه می گیرد که باران سنگین به سود محصول است، یا کسی که در ارتباط با وکلا تجربه های تأسف آمیزی داشته است نتیجه می گیرد که همه وکلا آدم های نابابی هستند. اساساً روش استقرایی عبارت است از این نتیجه گیری که چیزی، بر اساس مشاهده نمونه هایی محدود، همیشه درست است.
استقرا روش اساسی استدلال در علوم تجربی است. فرض کنید دانشمندی مقدار معینی آب را از 40 درجه تا 70 درجه گرم و مشاهده می کند که حجم آب گرم شده افزایش یافته است. اگر او دانشمند قابلی باشد با همین یک آزمایش نتیجه نمی گیرد، بلکه آزمایش را چندین بار تکرار می کند. فرض کنید که او هر بار همین انبساط را مشاهده کند. آن گاه است که اعلام خواهد کرد اگر آب از 40 درجه تا 70 درجه گرم شود، منبسط می شود. چنین نتیجه ای از طریق استدلال استقرایی به دست آمده است.
گرچه به نظر می رسد واقعیت ها نتایج حاصل از استدلال استقرایی را توجیه می کنند، این طور نیست که این نتایج با قطع و یقین اثبات شده باشند. از نظر منطقی نتایج روش استقرایی همان قدر اثبات شده اند که این تعمیم که از مشاهده یک میلیارد چینی نتیجه بگریم که تمام انسان ها زرد پوستند. به تعبیر دیگر نمی توانیم به هر نتیجه استدلال استقرایی یقین داشته باشیم. این روش محدودیت های دیگری نیز دارد. ما نمی توانیم به روش استقرایی نتیجه بگیریم که یک قانون اعمال نشده چه تأثیری ممکن است بر جامعه داشته باشند. همین طور نمی توان نظیر آن مشاهده گر غیر نقاد به روش استقرایی نتیجه گرفت که سرخ پوستان امریکایی وقتی ببینند عده ای به ستون حرکت می کنند از آن ها تقلید می کنند!
این چند روش به دست آوردن نتایج که هر یک بی تردید در بسیاری از موقعیت ها مفید است، یک محدودیت مشترک دارند: حتی اگر واقعیات حاصل از تجربه، یا واقعیاتی که استدلال قیاسی یا استقرایی بر آن ها متکی است، کاملاً درست باشند، دلیلی ندارد که نتایج حاصل هم یقیناً درست باشند؛ و در جایی که یقین و قطعیت واجد اهمیت اساسی باشد ای روش ها عملاً بی فایده اند.
در این میان، خوشبختانه روش استدلالی وجود دارد که قطعیت نتایجی را که ایجاد می کند، تضمین می کند. این روش به استنتاج مشهور است. مثال هایی بزنیم. اگر این واقعیت ها را بپذیریم که تمام سیب ها خراب می شوند و اگر شیئی که پیش روی ماست سیب باشد، باید نتیجه بگیریم که این سیب خراب شدنی است. همچنین اگر تمام آدم های خوب نیکوکار باشند و اگر من خوب باشم، پس من باید نیکوکار باشم، و اگر نیکوکار نباشم به معنی آن است که خوب نیستم؛ یا آن که از این مقدمات که تمامی شاعران باشعورند و هیچ آدم باشعوری ریاضیات را مسخره نمی کند، نتیجه ناگزیر این است که هیچ شاعری ریاضیات را مسخره نمی کند.
تا آن جا که به استدلال مربوط است، اهمیتی ندارد که با مقدمات موافق هستیم یا نه. آنچه مهم است این است که اگر مقدمات را بپذیریم باید نتیجه گیری ها را هم قبول داشته باشیم. متأسفانه، بسیاری قابل پذیرش بودن یا درستی یک نتیجه گیری را با اعتبار استدلالی که به آن نتیجه منجر می شود، اشتباه می کنند. از این مقدمات که تمامی موجودات با شعور انسان هستند و نیز این که خوانندگان این کتاب هم انسان اند، می توانیم نتیجه بگیریم که تمام خوانندگان این کتاب باشعورند. تردیدی نیست که این نتیجه گیری درست است؛ اما استدلال استنتاجی رساننده این مضمون معتبر نیست، زیرا از آن مقدمات لزوماً این نتیجه حاصل نمی شود. اندکی تأمل نشان می دهد که حتی اگر تمام موجودات باشعور انسان باشند، ممکن است انسان هایی باشند که بی شعورند و هیچ چیزی در مقدمات به ما نمی گوید که خواننده این کتاب به کدام گروه تعلق دارد.
بنابر این، استدلال استنتاجی عبارت است از آن راه های استخراج حکم های جدید از واقعیت ها (فاکت ها) ی پذیرفته شده، که قبول این حکم های استخراجی را الزام آور می سازد. در این جا در پی این مسئله نیستیم که چرا این اقناع ذهنی را تجربه می کنیم. آنچه در حال حاضر مهم است این است که انسان این روش رسیدن به نتیجه گیری ای جدید را در اختیار دارد و این که این گونه نتایج در صورتی که واقعیت هایی که با آن ها آغاز کرده ایم غیر قابل تردید باشند، غیر قابل تردیدند.
استنتاج، به عنوان یک روش نتیجه گیری مزایای زیادی نسبت به آزمون و خطا یا استدلال از طریق استقرا و قیاس دارد و مزیت برجسته این روش همان است که پیش تر از آن یاد کردیم؛ یعنی این که اگر مقدمات تردید ناپذیری باشند، نتایج هم تردید ناپذیر خواهند بود. حقیقت، اگر اصولاً دست یافتنی باشد، باید از قطعیت ها نتیجه شود، نه از استنباط های مشکوک یا تقریبی. در ثانی، استنتاج را بر خلاف آزمایش می توان بدون استفاده از ابزارهای گران قیمت انجام داد. پیش از آن که پلی ساخته شود و پیش از آن که تفنگی شلیک شود، با استفاده از استدلال استنتاجی می توان نتیجه را دریافت. استنتاج گاه این مزیت را دارد که تنها روش موجود باشد. محاسبه فواصل نجومی را نمی توان با ابزارهای معمول سنجش فاصله انجام داد. گذشته از این، آزمایش ما را به جزئی از زمان و مکان محدود می کند؛ در حالی که استدلال استنتاجی می تواند فراگیرنده جهان ها و اعصار بی شمار باشد.
البته، استدلال استنتاجی، با همه مزایایی که دارد، نمی تواند جانشین تجربه، استقرا یا استدلال قیاسی شود. درست است که اگر مقدمات تا صددرصد تأیید شود نتایج استنتاج هم تا صددردصد قطعیت خواهد داشت، اما لزوماً چنین مقدمات غیر قابل تردیدی وجود ندارد. مثلاً، متأسفانه تاکنون هیچ کس نتوانسته است اعتبار مقدماتی را تأیید کند که بر اساس آن ها روشی برای درمان سرطان استنتاج شود. علاوه بر این، قطعیت استدلال استنتاجی، در مقاصد عملی، گاه زاید است. در این گونه موارد چه بسا درجه بالایی از احتمال کافی باشد. مصریان قرن ها از فرمول های ریاضی ای که با آزمایش به دست آورده بودند، استفاده می کردند. اگر آن ها منتظر برهان استنتاجی می ماندند، هرم های جیزه امروز در پهنه صحرا برپا نبود.
پس هر یک از راه های گوناگون کسب دانش مزایا و معایب خاص خود را دارد. با وجود این، یونانیان اصرار داشتند که تمامی نتایج ریاضی تنها با استفاده از استدلال استنتاجی ثابت شود. آنان چنان که بر استفاده از این روش اصرار داشتند. که تمامی قاعده ها، روش ها و فرمول هایی را که از طریق تجربه، استقرا یا هر روش غیر استنتاحی دیگر به دست آمده و در پیکره ریاضیات، طی هزاران سال پیش از تمدن آن ها، پذیرفته شده بود، قبول نداشتند. پس گویا یونانیان بیش از آن که سازنده بوده باشند، ویرانگر بوده اند؛ اما بهتر است به این زودی قضاوت نکنیم.
چرا یونانیان منحصراً به استفاده از برهان استنتاجی در ریاضیات اصرار داشتند؟ چرا راه های بس مهم و پرثمر کسب معرفت همچون استقرا و تجربه و قیاس را کنار گذاشته بودند؟ پاسخ را می توان در ماهیت جامعه و ذهنیت آن ها یافت.
یونانیان فیلسوفانی مستعد بودند. عشق آنان به استدلال و لذت بردنشان از فعالیت فکری، آن ها را از دیگر مردمان متمایز می کرد. جوانان تحصیل کرده آتنی همان قدر شیفته فلسفه بودند که جوانان امروزی ما شیفته نایب کلاب اند و پنج قرن پیش از تولد مسیح مردم آتن چنان درگیر مسائلی چون زندگی و مرگ، جاودانگی، ماهیت روح و تمیز بین خیر و شر بودند که امریکایی قرن بیستم در اندیشه پیشرفت مادی است. فیلسوفان، برخلاف دانشمندان، بر اساس آزمایش یا مشاهده ای که شخصاً انجام داده اند استدلال نمی کنند، بلکه استدلال آن ها اصولاً حول مفهوم های مجرد و تعمیم های گسترده دور می زند. از همه چیز گذشته، آزمایش کردن در مورد روح برای به دست آوردن حقایق در مورد آن کار مشکلی است. ابزار طبیعی فلاسفه استدلال استنتاجی است و از همین رو یونانیان وقتی به ریاضیات روی آوردند، این روش را ترجیح دادند.
از این گذشته، فیلسوفان با حقیقت نیز سروکار دارند؛ یعنی آن انگشت شمار ذرات غیرمادی جاودانه و ازلی که می توان از درون هزار توی گیج کننده تجربه ها، مشاهده ها و درک های حسی غربال کرد. قطعیت جزو تفکیک ناپذیر حقیقت است. بنابر این، آن معرفت ریاضی که مصریان و بابلیان انباشته بودند، در چشم یونانیان چونان خانه ای پوشالی می نمود که با اندک تلنگری فرو می ریخت؛ حال آن که یونانیان جویای قصری بودند که از مرمر فساد ناپذیر و بی زمان بنا شده باشد.
جالب این جاست که توجه شدید یونانیان به استنتاج جلوه ای از عشق هلنی به زیبایی بود. درست همان طور که دوستداران موسیقی آن را به صورت ساختار و فاصله و کنترپوان می شنوند، یونانیان نیز زیبایی را به صورت نظم، هماهنگی، کمال و تعیّن می دیدند. زیبایی نه تنها تجربه ای احساسی، بلکه تجربه ای عقلی نیز به شمار می آمد. در واقع، یونانیان در پی عنصری عقلانی در هر تجربه احساسی بودند. پریکلس (2) در مدیحه ای مشهور آن آتنی هایی را که در نبرد ساموس کشته شده بودند، می ستاید؛ اما نه فقط از آن رو که اینان دلیر و میهن دوست بوده اند، بلکه بدان سبب که خرد برکردارشان حکم می راند. نزد مردمی که زیبایی و خرد را یکی می دانستند، طبیعی است که براهین استنتاجی جذابیت داشته باشد؛ چرا که طرحی دارد و نیز هماهنگ است و کامل، در عین این که یقین به نتیجه گیری ها احساس زیبایی حقیقت را به ارمغان می آورد. پس شگفت نیست که یونانیان ریاضیات را هنر می دانستند همچنان که معماری هنر است؛ هر چند از اصول آن در بنای انبار هم استفاده شود.
تبیین دیگر در مورد ترجیحی که یونانیان برای استنتاج قائل بودند، در سازمان جامعه آن ها نهفته است. فیلسوفان، ریاضی دانان و هنرمندان عضو بالاترین طبقه اجتماعی بودند. این لایه بالای جامعه یا یکسره امور تجاری و کارهای یدی را کسر شأن خود می دانست یا آن که این امور را ضروریاتی ناگوار تلقی می کرد. در نظر ایشان کار به تن آسیب می رساند و وقت انجام فعالیت های فکری و اجتماعی و وظایف شهروندی را می گرفت.
یونانیان مشهور به روشنی از بیزاری خود از کار و تجارت سخن گفته اند. فیثاغورسیان که اهل مکتبی پرنفوذ از فلاسفه و مذهبیون بودند افتخار می کردند که حساب را که ابزار تجارت است، به ورای نیازهای تاجران رفعت بخشیده اند. آنان در جست و جوی معرفت بودند، نه ثروت. به گفته افلاطون حساب را باید به قصد معرفت پی گرفت، نه تجارت. از این گذشته، وی می گفت که دکان داری دون شأن انسان آزاد است و آرزو داشت که انجام چنین کارهایی در جامعه جرم اعلام و مشمول مجازات شود. ارسطو می گفت که در یک کشور کامل هیچ شهروندی دست به کار مکانیکی نمی زند. حتی ارشمیدس که اختراعات عملی بسیار مهمی انجام داد، به اکتشافات خود در علم ناب دلخوش بود و هر مهارتی در ارتباط با نیازهای روزمره را پست و عوامانه می شمرد. در میان اهالی بئوسی در شرق یونان کار عملی به شدت تحقیر آمیز بود و آنان که خود را آلوده تجارت می کردند تا ده سال حق تصدی مناصب دولتی را نداشتند.
نحوه نگرش یونانیان به کار چه بسا تأثیر اندکی بر فرهنگ آنان می گذاشت. بردگان از امور تجاری گرفته تا خانه داری را انجام می دادند، به کارهای فنی و معمولی می پرداختند صنایع را اداره می کردند و حتی به مهم ترین حرفه ها چون پزشکی نیز می پرداختند. همین اساس برده داری در جامعه کلاسیک یونان سبب تفکیک نظریه و عمل و، در نتیجه، رشد وجه انتزاعی علم و ریاضیات، در عین غفلت مستمر از تجربه و کارهای عملی گردید.
با توجه به پرهیز اعضای طبقه بالای یونانی از بازرگانی و تجارت که بی تردید در تضاد کامل با دل مشغولی بالاترین طبقه اجتماعی به سرمایه و صنعت است، درک این که چرا آنان استنتاج را ترجیح می دادند مشکل نیست. اگر کسی در دنیای اطراف خود « زندگی» نکند، تجربه چیز اندکی به او می آموزد. به همین ترتیب، برای استدلال استقرایی یا قیاسی باید به این سو و آن سو برود و جهان واقعی را مشاهده کند. تجربه و آزمایش نزد متفکرانی که استفاده از دو دست خود را عار می دانستند، یقیناً بیگانه بود. از آن جا که یونانیان به بطالت روزگار نمی گذراندند، کاملاً طبیعی بود به نحوه پژوهشی روی آورند که با مزاج و گرایش اجتماعی آن ها توافق داشته باشد.
جانثن سویفت (3) به این انزوای فرهنگ یونان و نیز تأثیر آن بر ماهیت مجرد آنچه وی « شبه علم» زمان خویش می دانست، توجه و آن را مسخره کرده است. گالیور درباره مشاهدات خود در لاپوتا چنین می گوید: خانه هایشان کج و کوله ساخته شده و دیوارها همه مایل است و درهیچ خانه ای یک زاویه قائمه پیدا نمی کنی و این عیب، نتیجه نگاه تحقیرآمیز آن ها به هندسه عملی است که آن را کاری مکانیکی و عوامانه می دانند و برآن اند که دستوراتشان آن قدر دارای ظرافت است که از حد شعور کارگران بیرون است و همین امر اشتباهات مداوم به بار می آورد. و گرچه هنگام کارکردن با خط کش و مداد و پرگار بر یک تکه کاغذ به حد کفایت مهارت دارند، در ارتباط با کارهای معمول و سلوک زندگی، من از این آدم ها خام دست تر و دست و پا چلفتی تر ندیده ام و تا به حال به مردمی برنخورده ام که این قدر درکشان از بقیه موضوع ها، الا ریاضیات و موسیقی، کند و ضعیف باشد.
با همه این تفاصیل، اصرار یونانیان بر استدلال استنتاجی به عنوان تنها روش برهان در ریاضیات از ارزش و مقامی بسیار بالا برخوردار بود. این اصرار آن ها، ریاضیات را از جعبه ابزار نجار، صندوقچه مساح آلونک زارع بیرون آورد و به صورت نظامی فکری در ذهن انسان نشانید. از آن پس دیگر خرد انسان، و نه حواس ظاهری اش، مشخص می کرد که چه چیز درست است. همین نقطه سرآغاز ورود خرد به تمدن غرب بود و بدین سان یونانیان واضح تر از هر شیوه دیگری اهمیت والایی را که برای توانایی های عقلانی انسان قائل بودند آشکار ساختند.
از این گذشته، استفاده انحصاری از استنتاج سرچشمه نیروی شگفت انگیز ریاضیات بوده و این مبحث را از تمامی دیگر قلمروهای معرفت متمایز کرده است. این امر به ویژه بین علم و ریاضیات تمایزی واضح ایجاد می کند؛ چرا که علم از نتایج حاصل از آزمایش و استقرا نیز استفاده می کند. پیامد این روند آن است که نتیجه گیری های علم گهگاه نیاز به تجدید نظر دارد و گاه باید به کل کنار گذاشته شود؛ حال آن که نتیجه گیری های ریاضی هزاران سال است که به قوت خود باقی است، هر چند در مواردی نیاز به تکمیل استدلال داشته است.
اگر چه یونانیان هیچ کار دیگری جز همین تبدیل سرشت ریاضیات از علمی تجربی به یک نظام فکری استنتاجی انجام نداده بودند، تأثیرشان بر تاریخ بسیار عظیم بود. اما نقش هایی که آنان ایفا کردند، تازه از این جا شروع شد.
دومین تأثیر مهم یونانیان تجرید ریاضیات بود. در تمدن های پیشین این را آموخته بودند که درباره اعداد و انجام عملیات با آن ها تا حدی مجرد بیندیشند، اما این درک به شیوه ای ناآگاهانه بود؛ بسیار شبیه به آنچه خود ما در کودکی ضمن اندیشیدن به اعداد و کار با آن ها می آموزیم. پیش از ظهور تمدن یونان، تفکر هندسی حتی از این هم عقب تر بود. مثلاً نزد مصریان یک خط راست چیزی بیش از ریسمان کشیده یا خطی ترسیم شده بر شن نبود؛ یا چهار گوش حصاری بود که مرزهای مزرعه ای را مشخص می کرد.
یا یونانیان نه تنها درک مفهوم عدد حالتی ناخودآگاهانه یافت، بلکه آنان علم حساب (arithmetica) یعنی حساب عالی یا نظریه اعداد را پروراندند- و در همین حال محاسبه صِرف که آنان Logestica می نامیدند و چندان شامل درکی از مجردات نمی شد نزد آنان امری قبیح شمرده می شد؛ چیزی شبیه به نگاه تحقیرآمیزی که ما امروزه به ماشین نویسی داریم. به همین ترتیب، کلمات، نقطه، خط، مثلث و نظایر آن ها در هندسه به مفهوم هایی ذهنی بدل شدند که اجسام فیزیکی تنها معرف آن ها بودند. تفاوت این دو همان تفاوتی است که مفهوم ثروت با ملک و املاک و جواهر، یا مفهوم زمان با سنجش آن به صورت گذر خورشید در آسمان دارد.
یونانیان جوهر فیزیکی را از مفهوم های ریاضی حذف کردند و پوسته را باقی گذاشتند. اما چرا چنین کردند؟ تردید نیست که تفکر درباره مجردات بسیار مشکل تر از تفکر در باب عینیات است. یک مزیت چنین تفکری که بلافاصله خود را می نمایاند مزیت تعمیم است. قضیه ای که در مورد مثلث مجرد ثابت شود، در مورد مثلثی که از سه تکه چوب کبریت درست شود یا تکه زمینی مثلثی شکل یا مثلثی که زوایای آن از ماه و زمین و خورشید تشکیل شود، به یکسان مصداق دارد.
یونانیان مفهوم مجرد را از آن رو ترجیح می دادند که چنین مفهومی نزد آنان جاودانی، آرمانی و کامل بود؛ در حالی که اجسام فیزیکی فانی، ناقص و فساد پذیرند. اهمیت دنیای فیزیکی فقط از آن نظر بود که معرف دنیایی آرمانی محسوب می شد و انسان بسی مهم تر از انسان ها بود. توجه شدید یونانیان به مجردات را با نگاهی کوتاه به آموزه اصلی بزرگ ترین فیلسوف یونان می توان دریافت.
افلاطون به سال 428 پ م، در خانواده ای سرشناس و فعال در آتن به دنیا آمد. آن زمان دولت شهر آتن در اوج قدرت خود بود. در جوانی با سقراط ملاقات کرد و بعدها در دفاع از اشراف سالاری آتن به حمایت از او برخاست. وقتی حزب دموکراتیک قدرت را به دست گرفت، سقراط به زندان افتاد و محکوم به نوشیدن شوکران شد و افلاطون در آتن به عنصری نامطلوب تبدیل شد. وی که به این نتیجه رسیده بود که شخص باوجدان جایی در سیاست ندارد- و البته در آن زمان سیاست تفاوت بسیاری با امروز داشت- تصمیم به ترک شهر گرفت. پس از گشت و گذاری طولانی در مصر و دیدار با فیثاغورسیان در ایتالیای سفلا، در حدود سال 387 پ م به آتن بازگشت و آکادمی خود را برای کاوش در فلسفه و علم بنا نهاد. افلاطون چهل سال آخر عمر هشتاد ساله خود را وقف تعلیم، نوشتن و تربیت ریاضی دانان کرد. شاگردان، دوستان و پیروانش از جمله بزرگ ترین مردان روزگار خود و نسل های بعدی بودند که همه ریاضی دانان صاحب نام قرم چهارم پیش از میلاد را در میان آن ها می توان یافت.
افلاطون معتقد بود که جهانی مادی وجود دارد که عبارت است از زمین و اجسامی که در آن اند و این دنیا را ما از طریق حواس خود درک می کنیم؛ همین طور جهانی معنوی که دنیای جلوه های روحانی و دنیای ایده هایی چون زیبایی، عدالت، عقل، نیکی، کمال و دولت است. این مجردات نزد افلاطون همان ارزش را دارد که الوهیت نزد عارف، نیروانا نزد بودایی و روح خدا نزد مسیحی.
حواس ما بر چیزهای مجسم و فانی چنگ می زند، ولی تنها ذهن ماست که می تواند این ایده های جاودانه را دریابد. وظیفه هر انسان عاقلی آن است که از ذهن خود در جهت رسیدن به این مقصد استفاده کند؛ زیرا تنها همین ایده ها هستند که ارزش توجه را دارند، نه امور روزمره. این ایده گرایی که مغز فلسفه افلاطون را می سازد، دقیقاً در همان تراز ذهنی است که مفهوم های مجرد ریاضیات هستند. اگر اندیشیدن در باب یکی را بیاموزیم، اندیشیدن در باب دیگری را هم یاد گرفته ایم. افلاطون برهمین رابطه انگشت گذاشت.
او می گوید انسان باید برای گذار از معرفت دنیای ماده به دنیای ایده ها خود را آماده کند. نور متعالی ترین واقعیت ها، واقعیت هایی که در سپهر معنوی خانه دارند، دیدگان کسی را که برای مواجهه با آن تعلیم دیده باشد کور می کند. آن شخص، طبق تشبیه معروف خود افلاطون، به کسی می ماند که پیوسته در ظلمات غاری ژرف زیسته باشد و ناگهان او را در برابر آفتاب بیاورند.
وسیله ایده آل برای گذار از ظلمت به نور، ریاضیات است. ریاضیات از طرفی به دنیای حواس تعلق دارد؛ چرا که معرفت ریاضی به اجسام روی همین کره زمین مربوط می شود، زیرا به هر حال بازنمود ویژگی های ماده است. از طرف دیگر، اگر ریاضیات را صرفاً ایده سازی و فعالیتی فکری در نظر بگیریم، در واقع، از تمام چیزهای فیزیکی ای که توصیفشان می کند، متمایز است.
وانگهی هنگام برهان آوری مفهوم های فیزیکی را باید به دور افکند. از این جاست که تفکر ریاضی ذهن را برای توجه به صورت های عالی تر تفکر آماده می کند. این نحوه تفکر با دورکردن ذهن از تأمل، در امر محسوس و فانی و نزدیک کردن آن به امر باقی، ذهن را می پالاید. از این رو راه رستگاری، راه درک حقیقت، زیبایی و نیکی از ریاضیات می گذرد. ریاضیات دریچه ورود به ذهن خداست. به بیان افلاطون «... هندسه روح را به سوی حقیقت می کشاند، و جان فلسفه را می آفریند...» از آن رو که هندسه نه به چیزهای مادی، بلکه به نقطه، خط، مربع، مثلث، و نظایر آن ها به عنوان موضوع تفکر محض مربوط می شود.
حساب نیز به گفته افلاطون « تأثیری بس عظیم و رفعت بخش دارد و روان را وامی دارد تا درباره اعداد مجرد استدلال کند و در برابر نفوذ اجسام مرئی و محسوس در استدلال بشورد.» وی اندرز می دهد که « دولتمردان ما باید بروند و حساب را نه همچون غیر حرفه ای ها، بلکه بدان سان بیاموزند که بتوانند سرانجام ماهیت اعداد را تنها با ذهن خود ببینند.»
موضوع افلاطون را می توان چنین جمع بندی کرد: اندکی حساب و هندسه برای رفع مقاصد عملی کافی است، اما مراحل عالی تر و پیشرفته تر آن ها ذهن را به اعتلای ورای تأملات خاکی می کشاند و قادرش می سازد تا هدف نهایی فلسفه را که ایده نیکی است دریابد. از همین روست که افلاطون توصیه می کند که شهریار- فیلسوفان آینده از بیست سالگی تا به سن سی، به مدت ده سال، در پژوهش علوم دقیقه یعنی حساب، هندسه مسطحه، هندسه فضایی، ستاره شناسی و موسیقی تعلیمی ببینند. افلاطون در تأکیدی که بر ریاضیات به عنوان مقدمه فلسفه داشت نه تنها هم عصرانش و نسل های آتی، بلکه کل عصر کلاسیک یونان را مخاطب خویش می دانست. میل شدید یونانیان به ایده گرایی و تجرید خود را در فلسفه و ریاضیات یونان می نمایاند. همین نکته به وضوح در هنر این کشور نیز جلوه می کند، مجسمه های دوره کلاسیک یونان بر اساس قامت زن و مرد به خصوصی تراشیده نشده اند، بلکه بر اساس تیپ های آرمانی هستند. این ایده گرایی تا حد استاندارد کردن نسبت های اعضای بدن به یکدیگر تعمیم پیدا می کند. پولوکلیتوس (4) هنگام نسخه پیچیدن برای این نسبت ها از هیچ انگشت یا ناخنی صرف نظر نکرده است. کاری که امروزه در مسابقات ملکه زیبایی می کنند، یعنی اعطای جایزه به دختری که تناسب اندامش بیش از سایرین به استانداردی جا افتاده نزدیک باشد، در واقع استمرار توجه یونانیان به پیکر ایده آل است.
صورت و حالت پیکره های تزیینی یونان باستان، حداقل تا زمان پیکره معیار شکن لائوکوئون (5)، هیچ احساس یا توجهی را نشان نمی دهد. جلوه صورت آن ها به گونه ای است که گویی خدایان یونانی و مردم یونانی نه می اندشیدند، نه می خندیدند و نه اضطرابی داشتند. رفتار آن ها، حتی در پیکره هایی که ترسیم کننده عملی نمایشی هستند، آرام است. سیمایشان به همان متانتی است که می توان از مردمی غرق در اندیشه های تجریدی انتظار داشت. عواطف خاص به هر حال آنی و گذراست؛ در صورتی که این پیکرتراشان جاودانگی را در طبیعت انسان ترسیم می کردند. این شیوه مجسمه سازی حماسی با انبوه تندیس های رهبران سیاسی و نظامی روم، که تراشیده عصر رومی هستند، تضادی شدید دارد.
یونانیان معماری شان را نیز همچون مجسمه سازی شان به معیارهای استاندارد رسانیده بودند. خانه های ساده و بی پیرایه آن ها همیشه به شکل چهار گوش بود؛ به طوری که حتی نسبت ابعاد آن ها هم ثابت بود. معبد پارتنون آتن نمونه ای است از سبک و نسبت هایی که تقریباً در تمام معبدهای یونانی دیده می شود. اتفاقاً اصرار بر ابعاد آرمانی رابطه نزدیکی دارد با اصرار یونانیان بر فرم؛ فرم به مفهوم مجرد- مفهومی که در روزگار ما که هنر و تجرید عملاً مترادف شده اند چندان غریبه نیست.
اصرار بر استنتاج و تجرید، ریاضیات را بدین گونه که می شناسیم پدید آورد. این هر دو ویژگی را فلاسفه شکل داده اند. به رغم این واقعیت که ریاضیات زاده فلسفه یونان بود، بسیاری از ریاضی دانان بزرگ و پاره ای ریاضی دانانِ نه چندان بزرگ تا توانسته اند تمامی اندیشه های فلسفی را تمسخر کرده اند. البته چنین برخوردی نشان دهنده چیزی جز کوته فکری نیست. این ریاضی دانان در قلمرو کار خود به رودهای پرقدرتی می مانند که کوه ها را می فرسایند تا به دریا برسند؛ اما پس از عبور از این ورطه مسیرشان به تنگه هایی باریک محدود می شود. آن ها با توانایی خود توانسته اند عمیقاً به زیر سطحی که شروع به کاوش آن کرده اند نفوذ کنند؛ اما، در عین حال، در میان دیوارهای بلندی محدود و محبوس شده اند و دیگر نمی توانند دورتر را ببینند. این گونه ریاضی دانان که همه چیز را به مسخره می گیرند، این واقعیت را درک نمی کند که عمیق ترین و پرقدرت ترین رودها را پیوسته ابرهای پراکنده و ظریفی تغذیه می کنند. به همین ترتیب ابر اندیشه های فلسفی، عصاره خود را بر رودهای ریاضی می بارد. یونانیان به طریق دیگری نیز مهر خود را بر ریاضیات کوبیدند؛ طریقی که تأثیر بسیار بر آتیه رشد ریاضیات گذاشت و آن تأکیدشان بر هندسه بود. هندسه مسطحه و فضایی، سرتاسر، مورد کاوش قرار گرفت. البته نه روش راحتی برای نمایش کمیت ها در میان آن شکل گرفت و نه روش هایی کارآمد برای کار با اعداد. در واقع، یونانیان حتی در کاربرد شیوه هایی که بابلیان برای کارهای محاسبه ای یافته بودند، شکست خوردند. چیزی چون جبر به مفهومی که امروزه می شناسیم، با آن نمادپردازی بسیار کارآمدی که دارد و این همه روش ثابت شده برای حل مسائل، برای آن ها اصلاً مطرح نبود. این ناهمگونی در تأکید آن چنان واضح است که ناچاریم در پی دلایلی برای آن باشیم. چند دلیل برای این ناهمخوانی وجود دارد.
پیش از این گفتیم که در دوره باستان امور مالی، تجاری و صنعتی را بردگان انجام می دادند و افراد تحصیل کرده که امکان آن را داشتند که ایده های جدید بیافرینند و روش های تازه ای برای کار با اعداد پیدا کنند، خود را درگیر چنین مسائلی نمی کردند. چرا باید کسی که اندازه نمی گیرد، دلواپس استفاده از اعداد در اندازه گیری باشد یا به کاربرد آن ها در تجارت بیندیشد؛ در حالی که خود علاقه ای به تجارت ندارد. همین طور فیلسوفان یونان هم نیاز به اندازه عددی ابعاد حتی یک مستطیل هم نداشتند تا بتوانند در باب ویژگی های تمامی مستطیل ها تفکر کنند.
فیلسوفان یونان نیز همچون بیشتر فیلسوفان به نظاره ستارگان علاقه مند بودند. آنان برای رخنه در رازهای عالم، آسمان ها را مطالعه می کردند. اما یونانیان دوره باستان توجه چندانی به استفاده از علم نجوم در دریانوردی و تنظیم و اصلاح تقویم نداشتند. آنان به فراخور مقاصد خود به شکل و فرم بیشتر توجه داشتند تا به اندازه گیری و محاسبه و، از این رو، بیشتر به هندسه می پرداختند. در میان این فرم ها بیشترین جلب نظر را دایره و کره می کردند که البته این ناشی از مشاهده سطحی خورشید، ماه و سیاره ها بود. به این ترتیب، علایق ستاره شناسی یونانیان عصر باستان نیز به هندسه راه می برد.
قرم بیستم، همان گونه که نظریه های اتمی ما گواه بر آن است، با خرد کردن ماده در پی کشف واقعیت است؛ در حالی که یونانیان بنا کردن ماده را می پسندید. از نظر ارسطو، و دگر فیلسوفان یونانی، فرم یک شیء، واقعیتی است که باید در آن شیء یافت. ماده به خودی خود خام و بی شکل است و آن گاه معنا می یابد که شکلی به خود بگیرد. پس عجیب نیست که هندسه، یعنی مطالعه شکل ها، مورد توجه خاص یونانیان بود.
سرانجام این که راه حلی که برای این مسئله اساسی در ریاضی یافته شد، ریاضی دانان یونانی را کاملاً به اردوی « هندسیون» کشانید. در تمدن بابلی و تمدن های پیش از آن از اعداد صحیح و اعدا کسری استفاده می کردند. اما بابلیان به سبب کاربرد قضیه ای در مورد مثلث قائم الزاویه با گونه سومی از اعداد نیز آشنا بودند.
اول بهتر است به آن قضیه بپردازیم: اگر طول دو ضلع مثلث قائم الزاوایه ای 3 و 4 باشد، طول وتر آن مثلث، یعنی طول ضلعی که روبه روی زاویه قائمه است (AB در شکل 1)، برابر با 5 خواهد بود و مربع (مجذور) عدد 5، یعنی 25، برابر با مجموع مربع های 3 و 4 است، یعنی . رابطه مذکور بین دو ضلع قائم الزاویه، یعنی این که مربع طول وتر مساوی است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر، را عموماً به نام قضیه فیثاغورس می شناسند، اما واقعیت آن بر بابلیان و مصریان- هر چند برهانی برای اثبات آن نداشتند- معلوم بود.
حال، فرض کنید که طول دو ضلع یک مثلث قائم الزاویه، هر کدام، برابر 1 باشد (شکل 2)، در این صورت طول وتر چقدر خواهد بود؟ فرض کنید طول وتر را برابر با X بگیریم. طبق قضیه فیثاغورس طول X باید برابر باشد با: بنابر این X، یعنی طول وتر، باید عددی باشد که مجذور آن برابر 2 است. عددی را که مربع (مجذور) آن 2 باشد، با نشان می دهیم و را ریشه دوم (جذر) عدد 2 می نامیم. اما چه عددی است که برابر با باشد؟ یعنی چه عددی است که اگر در خودش ضرب شود مساوی 2 می شود.
پاسخ، همان گونه که مکتب ریاضیاتی فیثاغورسی در کمال تعجب کشف کرد، این بود که هیچ عدد صحیح یا کسری وجود ندارد که مجذور آن شود. به این ترتیب نماینده گونه جدیدی از اعداد است و آنان این گونه عددها را گنگ می نامیدند؛ زیرا امکان نداشت آن ها را دقیقاً به صورت نسبت عددهای صحیح، همچون نوشت. در مقابل، عددهای صحیح و عددهای کسری را گویا نام دادند. از این اصطلاحات امروزه نیز همچنان استفاده می کنیم.
در تاریخ اندیشه، مبحث عدد گنگ مورد بیشترین کم لطفی قرار گرفته است؛ در عین آن که این گونه عدد عضو مشکل آفرین سیستم اعداد ماست. دیدیم که چنین اعدادی قاعدتاً باید نماینده یک طول باشند و از این گذشته به وضوح و روشنی در تقریباً تمامی عملیات ریاضی وارد می شوند. با این حال، چگونه می توانیم چنین اعدادی را جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم کنیم؟ مثلاً چگونه می توانیم را جمع کنیم یا رار بر تقسیم کنیم؟
بابلیان راه حلی سردستی ولی عملی برای این قبیل مشکلات پیدا کرده بودند. آن ها مقدار را به تقریب می یافتند. مثلاً، از آن جا که مربع یا به شکل اعشاری 4/1 برابر با 96/1 است و از آن جا که 96/1 نزدیک به عدد 2 است، پس 4/1 باید نزدیک به باشد. تقریب بهتر عدد 41/1 است، زیرا که مربع 41/1 برابر است با 988/1.
تقریب بابلیان به امکان استدلال پردازی دقیق به کمک اعداد گنگ را نمی دهد؛ زیرا از هر چند رقم اعشار که استفاده کنید، نمی توانید عدد گویایی بنویسید که مربع آن دقیقاً 4 باشد. اما اگر قرار باشد ریاضیات شایستگی آن دقتی را داشته باشد که ادعا می کند، باید روشی برای کار خود با خود ، و نه با تقریب آن، بیابد. این مشکل برای ذهن یونانی همان قدر اساسی و دل مشغول کننده بود که مشکل غذا برای کشتی شکسته ای که به جزیره ای بی آب و علف افتاده است.
یونانیان که علاقه ای به استفاده از روش نارسای بابلیان نداشتند، تصمیم گرفتند که با این مشکل منطقی دست و پنجه نرم کنند. آنان به منظور آن که بتوانند در باب اعداد دقیق بیندیشند به این فکر افتادند که با تمام عددها به صورت هندسی کار کنند و این فکر را بر حسب این طول سنجیده می شود. برای نشان دادن طول مثلاً آن ها طول وتر مثلث قائم الزاویه ای را معادل با آن می گرفتند که دو ضلع دیگرش هر کدام برابر با یک باشد. جمع 1 و به صورت طولی در نظر گرفته می شد که واحد طول بر مقدار طول مساوی (وتر آن مثلث قائم الزاویه) افزوده می شد. درک جمع یک عدد صحیح و یک عدد گنگ به این طریق هندسی مشکل تر از جمع 1 و 1 با هم نیست.
به همین ترتیب، حاصل ضرب دو عدد مثلاً 3 و 5، هم به صورت هندسی بیان می شد. این حاصل ضرب را به صورت مساحت مستطیلی با ابعاد 3 و 5 در نظر می گرفتند. به همین ترتیب می توان حاصل ضرب 3 در را هم به صورت یک مساحت در نظر گرفت. تصور مستطیل دوم چندان مشکل تر از تصور مستطیل اول نیست؛ و به هر حال این روش راه دقیقی برای پیدا کردن حاصل ضرب عدد صحیح در عدد گنگ را در اختیار یونانیان قرار داد.
یونانیان نه تنها به شیوه هندسی با اعداد برخورد کردند، بلکه در این شیوه تا آن جا پیش رفتند که معادله هایی را که مقداری نامعلوم داشت از طریق ترسیم رشته ای از شکل های هندسی حل می کردند. پاسخ این شکل ها، پاره خط هایی بود که طول آن ها مساوی با مقدار مجهول بود. تعلق خاطر و عمل آنان به هدسه را می توان از این نکته دریافت که در یونان عهد باستان حاصل ضرب چهار عدد قابل تصور نبود؛ چرا که هیچ شکل هندسی ای وجود ندارد که چنین حاصل ضربی را نشان دهد به همان صورتی که مساحت و حجم نماینده حاصل ضرب به ترتیب دو و سه عدد است. از همین روست که ما هنوز همسو با تصور یونانی عددی چون 25 را مربع 5 و عددی چون 27 را مکعب 3 می نامیم.
ترجیحی که یونانیان برای هندسه قائل بودند، آن چنان مشخص بود که گالیور حین سفرش به لاپوتا بار دیگر ناچار شد شرح دهد که: دانسته هایی که در زمینه ریاضیات داشتم، در آشنایی ام با عبارت پردازی آن ها، که به این علم و موسیقی بستگی زیادی داشت، کمک بسیاری به من کرد. البته، در زمینه موسیقی هم چندان بی تجربه نبودم. تصورات آن ها پیوسته حول خط ها و شکل ها می گشت. مثلاً اگر می خواستند از زیبایی زنی یا هر حیوان دیگری تعریف کنند آن را با لوزی، دایره، متوازی الاضلاع، بیضی، یا دیگر اصطلاحات هندسی، یا با کلماتی که از موسیقی گرفته بودند و نیازی به تکرار آن ها در این جا نمی بینم، توصیف می کردند. در آشپزخانه سلطنتی همه گونه وسایل و ابزار ریاضیاتی و موسیقیایی را دیدم که گوشت های سفره اعلیحضرت را بر حسب شکل آن ها شقه می کردند.
از آن جا که یونانیان ایده های حسابی را به ایده های هندسی بدل کردند، و از آنجا که تمام هم خود را بر مطالعه هندسه گذاشتند، مبحث هندسه تا قرن نوزدهم بر قلمرو ریاضی سیطره داشت؛ تا آن جا که سرانجام در این قرن مشکلات کار با اعداد گنگ بر مبنایی دقیق که صرفاً متکی بر حساب بود، حل شد. با توجه به نارسایی و پیچیدگی انجام عملیات های حساب از طریق هندسه، این تبدیل از منظر عملی کاری تأسف بار بود. یونانیان نه تنها نتوانستند سیستم اعداد و جبری را بپرورند که صنعت، تجارت، امور مالیاتی و علم بدان نیاز دارد، بلکه با تأثیرگذاری بر نسل های بعدی، که مانند آن ها روال بسیار مشکل تر هندسه را پیش بگیرند، مانع پیشرفت آن ها شدند. اروپاییان چنان به فرم ها و رسوم یونانی خو گرفتند که تمدن غرب قرن ها به انتظار اعراب باقی ماند تا آن ها یک سیستم اعداد را از سرزمین دوردست هند برایش به ارمغان آورند.
هر چند این عقب ماندگی یونان در زمینه سیستم اعداد و جبر از نظر ما، با توجه به درکی که از پیشرفت داریم، ممکن است تأسف بار باشد، نباید آن را چون لکه ننگی بر دامان تفکر یونانی به شمار آوریم. این تنها گام قهقهرایی که یونانیان برداشتند، در نفس خود کاملاً منطقی بود و، از این گذشته، زیانی که از این بابت پیش آمد، در مقایسه با محاسن غیر قابل قیاس دیگر دستاوردهایشان بسیار جزئی و اندک است.
بیشتر مردم وقتی از نقش یونان در تمدن معاصر سخن می گویند، از هنر، فلسفه و ادبیات آن سخن می گویند. تردید نیست که آنچه یونان در این زمینه ها به ما بخشیده است، بسیار قابل ستایش است- فلسفه یونان امروزه همان قدر زنده و جاندار است که آن زمان بود. معماری و مجسمه سازی یونانی، و به خصوص مجسمه سازی اش، برای یک شخص تحصیل کرده معمولی در قرن بیستم، بسی زیباتر از آفریده های عصر خود این شخص می نماید. نمایشنامه های یونان هنوز در برادوِی به روی صحنه می رود. با همه این ها، آن قلمرویی که یونانیان از طریق آن قاطع ترین نقش را در تمدن معاصر ایفا کردند، ریاضیات بود.

پی نوشت ها :

1- Thales of Miletus، طالس ملطی، یکی از حکمای سبعه و بانی علوم و فلسفه یونانی (ح 624- ح 548 ق م)
2- Pericles، از رجال بزرگ آتن (ح 459- 329 ق م)
3- J. Swift، نویسنده انگلیسی (1667-1745)
4- Polycletus، نام دو تن از پیکرتراشان یونانی
5- Laocoän، در افسانه های یونانی، کاهن آپولون

منبع :کلاین، موریس؛ (1388)، نقش ریاضیات در فرهنگ غرب، ترجمه محمد دانش، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی.